引言：理解卡方检验的基础
卡方检验（Chi-Square Test）是一种广泛应用于统计学中的非参数检验方法，主要用于分析分类变量之间的关联性或独立性。在医学、社会科学、生物学等领域，它常被用来判断两个分类变量是否相关。其中，四格表（2x2列联表）是最简单也是最常见的形式，用于处理两个二分类变量的数据。例如，在临床试验中，我们可能想比较两种药物对治愈率的影响：一组接受新药治疗，另一组接受安慰剂，然后观察治愈和未治愈的人数。
为什么需要卡方检验？因为单纯比较比例（如治愈率）可能忽略样本大小和随机变异的影响。卡方检验通过计算统计量来量化观察数据与期望数据的偏差，从而判断这种偏差是否显著。本文将从四格表的构建入手，逐步解释卡方值的计算、P值的含义，以及如何判断数据是否显著。我们将使用通俗易懂的语言，避免过多数学公式，但会提供完整的计算示例，帮助你一步步掌握。
假设我们有一个研究：调查吸烟与肺癌的关系。数据如下：
- 吸烟者中，肺癌患者100人，非患者50人。
- 非吸烟者中，肺癌患者20人，非患者80人。
这个数据可以构建一个四格表，我们将以此为例进行详细说明。记住，卡方检验的核心是检验“独立性”：两个变量是否独立？如果P值小于0.05，我们通常认为它们不独立（即有关联）。
第一部分：什么是四格表？如何构建和解读
四格表的定义和结构
四格表是卡方检验中最简单的形式，用于两个二分类变量。它像一个2x2的表格，行代表一个变量（如吸烟与否），列代表另一个变量（如肺癌与否）。每个单元格包含观察频数（observed frequency, O），即实际数据。
以吸烟与肺癌的例子为例，构建四格表：
| 肺癌（是） | 肺癌（否） | 行总计 | |
|---|---|---|---|
| 吸烟（是） | 100 (O) | 50 (O) | 150 |
| 吸烟（否） | 20 (O) | 80 (O) | 100 |
| 列总计 | 120 | 130 | 250 |
- 行总计：每个行的总和（吸烟者总计150人，非吸烟者总计100人）。
- 列总计：每个列的总和（肺癌总计120人，非肺癌总计130人）。
- 总计：所有单元格的总和（250人）。
如何解读四格表
解读四格表时，先看观察频数（O）的分布：
- 如果吸烟与肺癌独立，那么吸烟者中肺癌的比例应该与非吸烟者相似。
- 计算期望频数（expected frequency, E）：E = (行总计 × 列总计) / 总计。
- 吸烟且肺癌的E = (150 × 120) / 250 = 72。
- 吸烟且非肺癌的E = (150 × 130) / 250 = 78。
- 非吸烟且肺癌的E = (100 × 120) / 250 = 48。
- 非吸烟且非肺癌的E = (100 × 130) / 250 = 52。
期望频数表：
| 肺癌（是） | 肺癌（否） | |
|---|---|---|
| 吸烟（是） | 72 (E) | 78 (E) |
| 吸烟（否） | 48 (E) | 52 (E) |
比较O和E：观察值100远大于期望值72，表明吸烟者肺癌更多，这暗示关联。但我们需要统计检验来确认是否显著。
关键点：四格表解读的第一步是计算期望频数，确保所有E ≥ 5（否则卡方检验不适用，需要Fisher精确检验）。在我们的例子中，所有E > 5，满足条件。
第二部分：卡方值的计算——量化偏差
卡方值（χ²）是衡量观察频数与期望频数偏差的统计量。公式为： χ² = Σ [(O - E)² / E] 其中，Σ表示对所有单元格求和。自由度（df）对于四格表是 (行数-1) × (列数-1) = 1。
逐步计算示例
使用我们的吸烟-肺癌数据，计算每个单元格的 (O - E)² / E：
- 吸烟且肺癌：O=100, E=72 → (100-72)² / 72 = 28² / 72 = 784 / 72 ≈ 10.89
- 吸烟且非肺癌：O=50, E=78 → (50-78)² / 78 = (-28)² / 78 = 784 / 78 ≈ 10.05
- 非吸烟且肺癌：O=20, E=48 → (20-48)² / 48 = (-28)² / 48 = 784 / 48 ≈ 16.33
- 非吸烟且非肺癌：O=80, E=52 → (80-52)² / 52 = 28² / 52 = 784 / 52 ≈ 15.08
现在求和：χ² ≈ 10.89 + 10.05 + 16.33 + 15.08 = 52.35
卡方值的解读
- χ² = 0：观察值与期望值完全一致，变量独立。
- χ² > 0：偏差越大，值越大，越可能不独立。
- 对于df=1，临界值（α=0.05）是3.84。我们的52.35远大于3.84，表明显著。
为什么这样计算？ (O - E)² 捕捉偏差的平方（避免负值），除以E标准化（考虑期望大小）。在实际应用中，你可以用Excel或统计软件计算，但理解公式有助于判断异常。
注意：如果样本小，卡方值可能不准。始终检查E ≥ 5。
第三部分：P值的含义和计算——判断显著性的钥匙
P值是卡方检验的核心，它表示在变量独立的假设下，观察到当前数据（或更极端）的概率。简单说，P值小（通常<0.05），说明数据不太可能由随机产生，变量很可能相关。
P值如何从卡方值得出
P值通过卡方分布表或软件计算，基于χ²和df。对于df=1，χ²=52.35，P值极小（远小于0.001）。
手动近似：使用卡方分布表，χ²=52.35对应P<0.001。更精确地，用软件：
- 在R语言中：
pchisq(52.35, df=1, lower.tail=FALSE)→ P ≈ 10^{-12}（极小）。 - 在Python中：
from scipy.stats import chi2; 1 - chi2.cdf(52.35, 1)→ 同样极小。
P值的解读规则
- P ≥ 0.05：不显著，接受独立假设（无关联）。
- P < 0.05：显著，拒绝独立假设（有关联）。
- P < 0.01：高度显著，关联更强。
- P < 0.001：极显著。
在我们的例子中，P < 0.001，所以吸烟与肺癌显著相关。
常见误区：P值不是“关联强度”的度量，而是“证据强度”。即使P显著，关联可能弱（需结合效应大小，如相对风险）。另外，P值受样本大小影响，大样本易得小P值。
第四部分：如何判断数据是否显著——完整流程和示例
判断显著性是一个系统过程，确保结果可靠。以下是标准步骤，结合我们的例子。
步骤1: 准备数据并检查假设
- 构建四格表，确保样本随机、独立。
- 检查期望频数E ≥ 5。如果不满足，用Fisher精确检验（在R中：
fisher.test()）。 - 假设：H0（零假设）= 变量独立；H1（备择）= 不独立。
步骤2: 计算卡方值
如上，χ² = 52.35。
步骤3: 确定自由度
df = 1（四格表固定）。
步骤4: 计算或查找P值
- 查表：χ²=52.35 > 3.84 (α=0.05临界)，P < 0.05。
- 软件计算：如上，P ≈ 0。
步骤5: 做出判断
- 如果P ≥ 0.05：数据不显著，变量独立。例如，如果χ²=2.0，P≈0.16，则吸烟与肺癌无显著关联。
- 如果P < 0.05：数据显著，变量不独立。我们的例子显著，支持吸烟增加肺癌风险。
另一个示例：不显著的情况
假设数据为：
- 吸烟且肺癌：30 (O), E=36
- 吸烟且非肺癌：70 (O), E=64
- 非吸烟且肺癌：20 (O), E=24
- 非吸烟且非肺癌：80 (O), E=56
计算χ²：
- (30-36)²/36 = 36⁄36=1
- (70-64)²/64 = 36/64≈0.56
- (20-24)²/24 = 16/24≈0.67
- (80-56)²/56 = 576/56≈10.29 χ² ≈ 12.52
P值：χ²=12.52 > 3.84，P < 0.001，仍显著。但如果χ²=2.0，P≈0.16，则不显著。
实用工具
- Excel：用CHISQ.TEST函数，输入观察和期望范围，直接得P值。
- R：
chisq.test(matrix(c(100,50,20,80), nrow=2))→ 输出χ²、df、P。 - Python： “`python import numpy as np from scipy.stats import chi2_contingency
# 观察数据 observed = np.array([[100, 50], [20, 80]]) chi2, p, dof, expected = chi2_contingency(observed) print(f”Chi2: {chi2:.2f}, P-value: {p:.4f}“) # 输出：Chi2: 52.35, P-value: 0.0000 “`
判断提示：始终报告χ²、df、P值和样本大小。显著性水平α=0.05是惯例，但可根据领域调整（如医学用0.01）。
第五部分：常见问题和注意事项
- 样本大小：小样本易导致假阴性，大样本易假阳性。考虑功效分析。
- 方向性：卡方检验不提供方向（哪个组更高），需事后比较。
- 多重检验：如果多个四格表，调整P值（如Bonferroni校正）。
- 替代方法：如果有序分类，用Cochran-Armitage趋势检验；如果多分类，用R×C卡方。
通过以上，你现在能自信解读四格表卡方检验。实践时，用软件验证计算，确保结果可靠。如果数据显著，进一步分析效应大小以指导决策。