引言：伯德图与转折率的基本概念

伯德图（Bode Plot）是控制系统分析和设计中最重要的工具之一，它以图形化方式展示了线性时不变系统（LTI）的频率响应特性。伯德图由两个子图组成：幅频特性图（Magnitude Plot）和相频特性图（Phase Plot）。幅频特性图通常以分贝（dB）为单位表示系统增益，而相频特性图则以度（°）为单位表示系统相位。

在伯德图分析中，”转折率”（Slope）是一个关键概念，它描述了幅频特性曲线在不同频率区间的变化速率。转折率通常以dB/decade（每十倍频程分贝数）或dB/octave（每倍频程分贝数）为单位。理解转折率对于控制系统设计至关重要，因为它直接反映了系统的动态特性、稳定性和带宽。

转折率的计算和分析可以帮助我们：

  1. 识别系统的极点和零点数量及位置
  2. 判断系统的稳定性
  3. 估算系统的带宽和响应速度
  4. 设计合适的控制器参数

转折率的理论基础

传递函数与频率响应

在深入转折率计算之前，我们需要回顾传递函数与频率响应的关系。对于一个线性时不变系统，其传递函数可以表示为：

\[ G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_0} \]

其中 \(N(s)\) 是分子多项式，\(D(s)\) 是分母多项式。将 \(s = j\omega\) 代入传递函数，得到频率响应：

\[ G(j\omega) = \frac{N(j\0\omega)}{D(j\omega)} \]

频率响应的幅值和相位分别为：

\[ |G(j\omega)| = \sqrt{\frac{|N(j\omega)|^2}{|D(j\omega)|^2}} \]

\[ \angle G(j\omega) = \angle N(j\omega) - \angle D(j\omega) \]

极点和零点对转折率的影响

系统的转折率由其极点和零点的数量和位置决定。对于标准形式的传递函数：

\[ G(s) = K \frac{\prod_{i=1}^{m} (s - z_i)}{\prod_{j=1}^{n} (s - p_j)} \]

其中 \(z_i\) 是零点，\(p_j\) 是极点。

零点的影响：

  • 每个实数零点在转折频率处使幅频特性曲线的转折率增加 +20 dB/decade
  • 每个共轭复数零点对使幅频特性曲线的转折率增加 +40 dB/decade
  • 零点使相位超前（增加相位）

极点的影响：

  • 每个实数极点在转折频率处使幅频特性曲线的转折率减少 -20 dB/decade
  • 每个共轭复数极点对使幅频特性曲线的转折率减少 -40 dB/decade
  • 极点使相位滞后（减少相位）

转折率计算的基本规则

  1. 初始转折率：在频率远低于最低转折频率时，转折率由传递函数的型别（Type）决定：

    • 0型系统：0 dB/decade
    • I型系统：-20 dB/decade
    • II型系统：-40 dB/decade
    • 以此类推

  2. 转折频率处的变化：在每个转折频率处，转折率根据极点或零点的类型进行调整：

    • 遇到零点：转折率增加 +20 dB/decade（实数零点）或 +40 dB/dradecade（复数零点对）
    • 遇到极点：转折率减少 -20 dB/decade（实数极点）或 -40 dB/decade（复数极点对）

  3. 最终转折率：在频率远高于最高转折频率时，转折率由分子和分母的最高次数差决定： $\( \text{最终转折率} = (m - n) \times 20 \text{ dB/decade} \)$

转折率的计算方法

步骤一：标准化传递函数

首先，将传递函数转换为标准形式，以便识别极点和零点。标准形式为：

\[ G(s) = K \frac{\prod_{i=1}^{m} (s/\omega_{z_i} + 1)}{\prod_{j=1}^{n} (s/\omega_{p_j} + 1)} \]

其中 \(\omega_{z_i}\) 是零点转折频率，\(\omega_{p_j}\) 是极点转折频率。

步骤二：识别转折频率

找出所有转折频率（极点和零点的自然频率），并按从小到大排序。

步骤三：确定初始转折率

根据传递函数的型别确定初始转折率（最低频率区间的转折率）。

歩骤四：逐段计算转折率

从低频到高频，依次处理每个转折频率，根据遇到的是极点还是零点调整转折率。

步骤五：验证最终转折率

检查高频区间的转折率是否与理论值一致。

实例分析

实例1：简单一阶系统

考虑一个简单的一阶低通滤波器：

\[ G(s) = \frac{1}{0.01s + 1} \]

计算过程：

  1. 标准化：已经标准化，转折频率 \(\omega_p = 100\) rad/s（因为 \(0.01s = s/100\)）

  2. 识别转折频率：只有一个极点转折频率 \(\omega_p = 100\) rad/s

  3. 确定初始转折率：这是一个0型系统（分子分母同次），初始转折率为0 dB/decade

  4. 逐段计算：

    • 当 \(\omega < 100\) rad/s：转折率 = 0 dB/decade
    • 当 \(\omega > 100\) rad/s：遇到极点，转折率 = 0 - 20 = -20 dB/decade

  5. 验证：最终转折率 = (0 - 1) × 20 = -20 dB/decade，与计算一致。

伯德图特征：

  • 低频增益：20log₁₀(1) = 0 dB
  • 转折频率：100 rad/s
  • 转折率变化：从0变为-20 dB/decade

实例2：二阶系统（欠阻尼）

考虑一个二阶系统：

\[ G(s) = \frac{1}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \]

其中 \(\zeta = 0.1\)，\(\omega_n = 100\) rad/s。

计算过程：

  1. 标准化：已经标准化，转折频率 \(\omega_p = 100\) rad/s（共轭复数极点对）

  2. 识别转折频率：一个共轭复数极点对，转折频率 \(\omega_p = 100\) rad/s

  3. 确定初始转折率：0型系统，初始转折率为0 dB/decade

  4. 逐段计算：

    • 当 \(\omega < 100\) rad/s：转折率 = 0 dB/decade
    • 当 \(\omega > 300\) rad/s：遇到共轭复数极点对，转折率 = 0 - 40 = -40 dB/decade
    • 在 \(\omega = 100\) rad/s附近：由于阻尼比很小（0.1），会出现峰值谐振，但转折率仍按-40 dB/decade计算

  5. 验证：最终转折率 = (0 - 2) × 20 = -40 dB/decade，与计算一致。

伯德图特征：

  • 低频增益：0 dB
  • 转折频率：100 rad/s
  • 转折率变化：从0变为-40 dB/decade
  • 谐振峰值：约14 dB（当ζ=0.1时）

实例3：包含零点和极点的系统

考虑一个更复杂的系统：

\[ G(s) = \frac{10(s+10)}{s(s+100)(s+1000)} \]

计算过程：

  1. 标准化： $\( G(s) = \frac{10 \cdot 10 (s/10 + 1)}{s \cdot 100 (s/100 + 1) \cdot 1000 (s/1000 + 1)} = \frac{100 (s/10 + 1)}{100000 s (s/100 + 1) (s/1000 + 1)} = \frac{0.001 (s/10 + 1)}{s (s/100 + 1) (s/1000 + 1)} \)$

  2. 识别转折频率：

    • 零点：\(\omega_z = 10\) rad/s
    • 极点：\(\omega_{p1} = 100\) rad/s，\(\omega_{p2} = 1000\) rad/s
    • 原点处的极点（积分器）：\(\omega_{p0} = 0\) rad/s（但影响初始转折率）

  3. 确定初始转折率：这是一个I型系统（有一个s在分母），初始转折率为 -20 dB/decade

  4. 逐段计算：

    • 当 \(\omega < 10\) rad/s：转折率 = -20 dB/decade（积分器主导）
    • 当 \(10 < \omega < 100\) rad/s：遇到零点，转折率 = -20 + 20 = 0 dB/decade
    • 当 \(100 < \omega < 1000\) rad/s：遇到极点，转折率 = 0 - 20 = -20 dB/decade
    • 当 \(\omega > 1000\) rad/s：遇到极点，转折率 = -20 - 20 = -40 dB/decade

  5. 验证：最终转折率 = (1 - 3) × 20 = -40 dB/decade，与计算一致。

伯德图特征：

  • 低频增益：在ω=1 rad/s时，增益 = 20log₁₀(0.001/1) = -60 dB
  • 转折频率：10 rad/s（零点），100 rad/s（极点），1000 rad/s（极点）
  • 转折率变化：-20 → 0 → -20 → -40 dB/decade

实例4：PID控制器

考虑一个PID控制器：

\[ G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s = \frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s} \]

设 \(K_p = 10\), \(K_i = 100\), \(K_d = 1\)。

计算过程：

  1. 标准化： $\( G_c(s) = \frac{s^2 + 10s + 100}{s} = \frac{(s+5)^2 + 75}{s} ≈ \frac{(s+5)^2}{s} \)$（近似处理）

  2. 识别转折频率：

    • 积分器：\(\omega_{p0} = 0\) rad/s
    • 二阶零点：\(\omega_z ≈ 5\) rad/s（共轭复数零点对）

  3. 确定初始转折率：I型系统，初始转折率为 -20 dB/decade

  4. 逐段计算：

    • 当 \(\omega < 5\) rad/s：转折率 = -20 dB/decade
    • 当 \(\omega > 5\) rad/s：遇到共轭复数零点对，转折率 = -20 + 40 = +20 dB/decade

  5. 验证：最终转折率 = (2 - 1) × 20 = +20 dB/decade，与计算一致。

伯德图特征：

  • 低频增益：随频率降低而增加（积分作用）
  • 转折频率：5 rad/s
  • 转折率变化：-20 → +20 dB/decade
  • 高频增益：随频率增加而增加（微分作用）

转折率计算的编程实现

Python代码示例：自动计算转折率

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal
from scipy.signal import bode

def calculate_slopes(num, den):
    """
    计算传递函数的伯德图转折率
    
    参数:
    num: 分子系数列表（从高次到低次）
    den: 分母系数列表（从高次到低次）
    
    返回:
    slopes: 各频段的转折率列表
    breakpoints: 转折频率列表
    """
    # 创建传递函数
    sys = signal.TransferFunction(num, den)
    
    # 计算极点和零点
    zeros = np.roots(num)
    poles = np.roots(den)
    
    print("零点:", zeros)
    print("极点:", poles)
    
    # 提取转折频率（自然频率）
    breakpoints = []
    breakpoint_types = []  # 'zero' 或 'pole'
    breakpoint_orders = []  # 1（实数）或2（复数对）
    
    # 处理零点
    for z in zeros:
        if np.isreal(z):
            omega = np.abs(np.real(z))
            breakpoints.append(omega)
            breakpoint_types.append('zero')
            breakpoint_orders.append(1)
        else:
            omega = np.abs(np.real(z))
            breakpoints.append(omega)
            breakpoint_types.append('zero')
            breakpoint_orders.append(2)
    
    # 处理极点
    for p in poles:
        if np.isreal(p):
            omega = np.abs(np.real(p))
            breakpoints.append(omega)
            breakpoint_types.append('pole')
            breakpoint_orders.append(1)
        else:
            omega = np.abs(np.real(p))
            breakpoints.append(omega)
            breakpoint_types.append('pole')
            breakpoint_orders.append(2)
    
    # 排序转折频率
    sorted_indices = np.argsort(breakpoints)
    breakpoints = np.array(breakpoints)[sorted_indices]
    breakpoint_types = np.array(breakpoint_types)[sorted_indices]
    breakpoint_orders = np.array(breakpoint_orders)[sorted_indices]
    
    # 计算初始转折率（低频段）
    # 初始转折率 = (分子次数 - 分母次数) * 20
    # 但需要考虑积分器（s=0的极点）
    num_degree = len(num) - 1
    den_degree = len(den) - 1
    
    # 检查是否有积分器（分母常数项为0）
    if den[-1] == 0:
        # 有积分器，需要减去一个极点
        initial_slope = (num_degree - den_degree) * 20
        # 但积分器贡献-20dB/decade，所以需要调整
        # 实际上，初始转折率由传递函数型别决定
        # Type N系统：初始转折率 = -20*N dB/decade
        # 计算积分器数量
        integrator_count = 0
        for i, coeff in enumerate(den[::-1]):  # 从低次到高次
            if coeff == 0:
                integrator_count += 1
            else:
                break
        initial_slope = -20 * integrator_count
    else:
        # 无积分器，初始转折率 = (分子次数 - 分母次数) * 20
        # 但需要考虑常数项
        if num_degree == den_degree:
            initial_slope = 0
        elif num_degree > den_degree:
            initial_slope = (num_degree - den_degree) * 20
        else:
            initial_slope = (num_degree - den_degree) * 20
    
    # 计算各频段转折率
    slopes = [initial_slope]
    current_slope = initial_slope
    
    print("\n转折率变化过程:")
    print(f"初始转折率: {current_slope} dB/decade")
    
    for i, (omega, btype, order) in enumerate(zip(breakpoints, breakpoint_types, breakpoint_orders)):
        if btype == 'zero':
            change = 20 * order
        else:  # 'pole'
            change = -20 * order
        
        current_slope += change
        slopes.append(current_slope)
        
        type_str = "零点" if btype == "zero" else "极点"
        order_str = "实数" if order == 1 else "复数对"
        print(f"转折频率 {omega:.2f} rad/s: 遇到{type_str}({order_str}), 转折率变化 {change:+d} dB/decade, 当前转折率: {current_slope} dB/decade")
    
    return slopes, breakpoints

# 实例3的计算
print("="*60)
print("实例3计算：G(s) = 10(s+10) / [s(s+100)(s+1000)]")
print("="*60)

# 传递函数：10(s+10) / [s(s+100)(s+1000)]
# 展开分母：s(s+100)(s+1000) = s(s^2 + 1100s + 100000) = s^3 + 1100s^2 + 100000s
# 分子：10(s+10) = 10s + 100
num = [10, 100]  # 10s + 100
den = [1, 1100, 100000, 0]  # s^3 + 1100s^2 + 100000s

slopes, breakpoints = calculate_slopes(num, den)

print("\n最终结果:")
print(f"转折频率: {breakpoints}")
print(f"各频段转折率: {slopes} dB/decade")
print(f"最终高频转折率: {slopes[-1]} dB/decade")

# 验证理论值
num_degree = len(num) - 1
den_degree = len(den) - 1
theoretical_slope = (num_degree - den_degree) * 20
print(f"理论最终转折率: {theoretical_slope} dB/decade")
print(f"计算验证: {'通过' if slopes[-1] == theoretical_slope else '失败'}")

MATLAB代码示例：伯德图绘制与转折率标注

% MATLAB代码：绘制伯德图并标注转折率

% 实例3：G(s) = 10(s+10) / [s(s+100)(s+1000)]
num = [10 100];
den = [1 1100 100000 0];

% 创建传递函数
sys = tf(num, den);

% 计算伯德图
[mag, phase, w] = bode(sys);

% 转换为dB和度
mag_db = 20*log10(mag(:));
phase_deg = phase(:);
w_rad = w(:);

% 绘制伯德图
figure;
subplot(2,1,1);
semilogx(w_rad, mag_db, 'b-', 'LineWidth', 2);
grid on;
title('伯德图 - 幅频特性');
xlabel('频率 (rad/s)');
ylabel('增益 (dB)');
hold on;

% 标注转折率
% 转折频率：10, 100, 1000 rad/s
% 转折率变化：-20 → 0 → -20 → -40 dB/decade

% 绘制渐近线
% ω < 10: -20 dB/decade
omega1 = [1, 10];
gain1 = -20*log10(omega1) - 60;  % 在ω=1时增益为-60dB
plot(omega1, gain1, 'r--', 'LineWidth', 1.5);

% 10 < ω < 100: 0 dB/decade
omega2 = [10, 100];
gain2 = [gain1(end), gain1(end)];  % 保持常数
plot(omega2, gain2, 'r--', 'LineWidth', 1.5);

% 100 < ω < 1000: -20 dB/decade
omega3 = [100, 1000];
gain3 = [gain2(end), gain2(end) - 20];  % 下降20dB
plot(omega3, gain3, 'r--', 'LineWidth', 1.5);

% ω > 1000: -40 dB/decade
omega4 = [1000, 10000];
gain4 = [gain3(end), gain3(end) - 40];  % 再下降40dB
plot(omega4, gain4, 'r--', 'LineWidth', 1.5);

% 标注转折率
text(5, -80, '斜率: -20 dB/decade', 'Color', 'red', 'FontSize', 10);
text(30, -60, '斜率: 0 dB/decade', 'Color', 'red', 'FontSize', 10);
text(300, -80, '斜率: -20 dB/decade', 'Color', 'red', 'FontSize', 10);
text(3000, -120, '斜率: -40 dB/decade', 'Color', 'red', 'FontSize', 10);

% 标注转折频率
for omega = [10, 100, 1000]
    plot([omega, omega], ylim, 'k--', 'LineWidth', 0.5);
end

legend('实际伯德图', '渐近线', 'Location', 'southwest');

% 相频特性图
subplot(2,1,2);
semilogx(w_rad, phase_deg, 'b-', 'LineWidth', 2);
grid on;
title('伯德图 - 相频特性');
xlabel('频率 (rad/s)');
ylabel('相位 (度)');
hold on;

% 标注相位变化
% 低频：-90°（积分器）
% ω=10：零点使相位增加
% ω=100：极点使相位减少
% ω=1000：极点使相位减少

% 绘制渐近相位
phase_low = -90;  % 积分器贡献-90°
phase_mid = -90 + 45;  % 零点贡献+45°
phase_high1 = -90 + 45 - 45;  % 第一个极点贡献-45°
phase_high2 = -90 + 45 - 45 - 45;  % 第二个极点贡献-45°

plot([1, 10], [phase_low, phase_low], 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot([10, 100], [phase_low, phase_mid], 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot([100, 1000], [phase_mid, phase_high1], 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot([1000, 10000], [phase_high1, phase_high2], 'r--', 'LineWidth', 1.5);

legend('实际相位', '渐近线', 'Location', 'southwest');

转折率计算的高级技巧与注意事项

1. 复数极点和零点的处理

当遇到共轭复数极点或零点时，转折率的变化是实数极点/零点的两倍（+40或-40 dB/decade），但需要注意阻尼比的影响：

  • 低阻尼（ζ < 0.5）：在转折频率附近会出现明显的谐振峰值，实际曲线会偏离渐近线
  • 高阻尼（ζ > 1）：系统表现为两个分离的实数极点，转折率变化分两步进行

2. 重根情况的处理

如果传递函数有重根（例如 \((s+10)^2\)），则：

  • 重零点：转折率增加 \(2 \times 20 = 40\) dB/decade
  • 重极点：转折率减少 \(2 \times 20 = 40\) dB/decade

3. 延迟环节的影响

延迟环节 \(e^{-\tau s}\) 不产生转折频率，但会：

  • 在高频引入相位滞后
  • 不影响幅频特性的转折率
  • 需要特殊处理（Pade近似或Nichols图）

4. 转折率与系统性能的关系

转折率 (dB/decade) 系统类型 稳定性 响应速度 稳态误差
0 0型 稳定 慢 有差
-20 I型 稳定 中等 阶跃输入为0
-40 II型 临界稳定 快 阶跃/斜坡输入为0
-60 III型 不稳定 很快 无稳态误差

5. 转折率计算的误差来源

  • 忽略高频动态：实际系统可能有未建模的高频极点
  • 复数极点近似：用实数极点近似复数极点会引入误差
  • 非最小相位系统：零点在右半平面时，转折率计算规则相同，但相位特性不同
  • 参数变化：实际元件参数容差导致转折频率偏移

实际工程应用案例

案例：直流电机速度控制系统

直流电机的传递函数通常为：

\[ G(s) = \frac{K}{(s+10)(s+100)} \]

控制器采用PID：

\[ G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s \]

完整系统传递函数：

\[ G_{total}(s) = \frac{K(K_d s^2 + K_p s + K_i)}{s(s+10)(s+100)} \]

转折率分析：

  1. 积分器：-20 dB/decade
  2. PID零点：+40 dB/decade（假设复数零点）
  3. 电机极点1：-20 dB/decade
  4. 电机极点2：-20 dB/decade

设计目标：

  • 期望带宽：50 rad/s
  • 期望相位裕度：>45°
  • 稳态误差：0

参数选择：

  • 将PID零点设在10 rad/s附近（提供相位提升）
  • 调整Kp, Ki, Kd使转折率在50 rad/s处为-20 dB/decade（确保稳定性）

计算验证：

# 直流电机PID控制系统转折率分析
import numpy as np
from scipy import signal

# 电机参数
K = 100
motor_poles = [-10, -100]

# PID参数
Kp = 50
Ki = 200
Kd = 5

# 控制器传递函数
num_controller = [Kd, Kp, Ki]  # Kd*s^2 + Kp*s + Ki
den_controller = [1, 0]  # 1 (实际是s，但分子分母同乘s)

# 电机传递函数
num_motor = [K]
den_motor = [1, 110, 1000]  # (s+10)(s+100) = s^2 + 110s + 1000

# 开环传递函数
num_open = np.convolve(num_controller, num_motor)
den_open = np.convolve(den_controller, den_motor)

print("开环传递函数分子:", num_open)
print("开环传递函数分母:", den_open)

# 计算转折率
def calculate_slopes_simple(num, den):
    # 计算极点和零点
    zeros = np.roots(num)
    poles = np.roots(den)
    
    print("\n零点:", zeros)
    print("极点:", poles)
    
    # 计算转折频率
    breakpoints = []
    for z in zeros:
        if np.isreal(z):
            breakpoints.append(np.abs(np.real(z)))
        else:
            breakpoints.append(np.abs(np.real(z)))
    
    for p in poles:
        if np.isreal(p):
            breakpoints.append(np.abs(np.real(p)))
        else:
            breakpoints.append(np.abs(np.real(p)))
    
    breakpoints = sorted(set(breakpoints))
    
    # 初始转折率
    num_degree = len(num) - 1
    den_degree = len(den) - 1
    
    # 检查积分器
    if den[-1] == 0:
        integrator_count = 0
        for coeff in den[::-1]:
            if coeff == 0:
                integrator_count += 1
            else:
                break
        initial_slope = -20 * integrator_count
    else:
        initial_slope = (num_degree - den_degree) * 20
    
    # 计算各段转折率
    slopes = [initial_slope]
    current_slope = initial_slope
    
    print(f"\n初始转折率: {current_slope} dB/decade")
    
    for omega in breakpoints:
        # 检查是零点还是极点
        zero_count = sum(1 for z in zeros if np.abs(np.real(z) - omega) < 1e-6)
        pole_count = sum(1 for p in poles if np.abs(np.real(p) - omega) < 1e-6)
        
        change = 20 * zero_count - 20 * pole_count
        current_slope += change
        slopes.append(current_slope)
        
        print(f"转折频率 {omega:.2f} rad/s: 零点{zero_count}个, 极点{pole_count}个, 变化 {change:+d} dB/decade, 当前: {current_slope} dB/decade")
    
    return slopes, breakpoints

slopes, breakpoints = calculate_slopes_simple(num_open, den_open)

print("\n=== 结果分析 ===")
print(f"转折频率: {breakpoints}")
print(f"各频段转折率: {slopes} dB/decade")
print(f"最终转折率: {slopes[-1]} dB/decade")

# 验证稳定性
w, mag, phase = signal.bode((num_open, den_open), np.logspace(-2, 3, 500))
gain_margin = -mag[np.argmin(np.abs(mag))] if np.min(mag) < 0 else np.inf
phase_margin = 180 + phase[np.argmin(np.abs(w - 50))]  # 在50 rad/s处的相位裕度

print(f"\n在50 rad/s处的相位: {phase[np.argmin(np.abs(w - 50))]:.2f}°")
print(f"相位裕度: {phase_margin:.2f}°")
print(f"增益裕度: {gain_margin:.2f} dB")

总结

伯德图转折率计算是控制系统分析和设计的核心技能。通过系统化的方法，我们可以：

  1. 快速识别系统特性：通过转折率判断系统类型、稳定性和动态响应
  2. 指导控制器设计：根据期望的转折率选择合适的控制器结构和参数
  3. 预测系统行为：在实际测试前预估伯德图形状，避免设计失误

掌握转折率计算不仅需要理解理论规则，还需要通过大量实例练习来培养直觉。在实际工程中，转折率分析通常与计算机仿真相结合，以获得精确的系统性能评估。

记住，转折率是渐近线的斜率，实际系统曲线会在转折频率附近偏离渐近线，特别是在低阻尼复数极点/零点的情况下。因此，在关键设计中，应结合精确的频率响应计算和仿真来验证设计结果。